微積分之倚天寶劍

　　本書是《微積分之屠龍寶刀》續集，內容從瑕積分、極座標、無窮級數的收斂、空間向量，到參數曲線、多變數函數、偏導數、多重積分、向量場。 　　想換一種方式，理解這些令人頭疼的課題嗎？歡迎你拿起《微積分之倚天寶劍》，跟隨三位寶貝作者的腳步，一同披荊斬棘，度過危機。

第1章 導言 第2章 不定式與瑕積分 2.1 不定式 2.2 瑕積分 第3章 極座標 3.1 何謂極座標？ 3.2 極座標中的面積 第4章 無窮級數 4.1 序列 4.2 序列的極限 4.3 級數：基本觀念 4.4 個性外向的幾何級數 4.5 第N項檢驗 4.6 更多朋友：積分檢驗與P級數 4.7 比較檢驗 4.8 交錯級數與絕對收斂 4.9 更多檢驗法 4.10 冪級數 4.11 什麼時候該用什麼檢驗？ 4.12 泰勒級數 4.13 帶有餘項的泰勒公式 4.14 一些著名的泰勒級數 第5章 向量：從歐幾里得，到邱比特 5.1 平面上的向量 5.2 太空：最後的疆界（空間：期末考的邊遠地帶） 5.3 空間中的向量 5.4 點積（內積） 5.5 叉積（外積；向量積） 5.6 空間中的直線 5.7 空間中的平面 第6章 空間中的參數曲線：來坐坐雲霄飛車 6.1 參數曲線 6.2 曲率 6.3 速度與加速度 第7章 曲面與作圖 7.1 平面上的曲線：回顧一下 7.2 三維空間方程式的圖形 7.3 旋轉曲面 7.4 二次曲面（帶-oid字尾的曲面） 第8章 多變數函數，及它們的偏導數 8.1 多變數函數 8.2 等高線8.3 極限 8.4 連續性 8.5 偏導數 8.6 最大、最小值問題 8.7 鏈鎖律 8.8 梯度與方向導數 8.9 拉格朗日乘數 8.10 二階導數檢驗 第9章 多重積分 9.1 二重積分與極限：技術方面的東西 9.2 求二重積分 9.3 二重積分與圖形下方的體積 9.4 極座標中的二重積分 9.5 三重積分 9.6 柱面座標與球面座標 9.7 質量、質心、矩 9.8 座標變換 第10章 向量場與格林－斯托克斯幫 10.1 向量場 10.2 認識散度跟旋度 10.3 線積分陣容 10.4 向量場的線積分 10.5 保守向量場 10.6 格林定理 10.7 散度定理：求散度的積分 10.8 面積分 10.9 火上加油！ 第11章 期末考會考些什麼？ 詞彙表：數學名詞速成 英中對照索引 公式祕笈

序 　　本書是《微積分之屠龍寶刀》的續篇，讀者是已經修過至少一學期微積分的學生，書裡的內容包含了微積分剩下的部分中，所有你需要知道的素材，諸如多變數微積分，以及序列與級數。為什麼我們要寫這第二本書呢？主要原因是，在《微積分之屠龍寶刀》出版之後，我們收到了無數正面回響的信件，得到廣大讀者的鼓舞。 　　以下是其中一封來信： 　　親愛的三位數學怪胎： 　　誰想得到你們三個滿腦子數學的鴨蛋頭，居然會寫出一本讓我欣賞的書？ 　　你們的《微積分之屠龍寶刀》真是寫得很棒，完全轉變了我對數學的觀感。為了讓自己有更多時間做數學習題，我已經毅然決然辭去了兄弟會的「整人組」組長一職，我甚至正在認真考量，是否也應該一併戒掉啤酒。 　　之所以遲遲未做決定，原因是一旦戒了酒，我這兄弟會自然就待不下去啦。不過現在想想，即使離開兄弟會，也沒啥大不了！自從你們的書讓我開了眼界，看到數學真實、美好的一面之後，我對人類的各種創新努力，重新產生了敬意，也不再貿然輕視我們這個多元社會裡的每一個人。 　　換言之，我不再以貌取人；以前我認為，怪胎不可能有啥能耐跟內涵，現在我終於了解到，外形上的特質不足以反映出內在的巨大創新潛力。為此，我要謝謝你們改變了我的一生。我現在已下定決心，今後要貢獻棉薄之力，掃除社會上跟昨日之我相同的無知偏見。 　　不過我也知道，無論我如何努力，成效遠不如你們透過著書立說，匡正社會陋習的偉大貢獻。你們真了不起，我將永遠感謝你們。如果你們認為我有任何幫得上忙的地方，不管是人事上還是財務上，千萬別客氣，儘管吩咐。 　　莊孝維　謹上 　　P.S.：我只是在希望跟祈禱，你們能考慮為《微積分之屠龍寶刀》寫一本續集，寫完該書尚未提到的部分，包括序列、級數及多變數微積分等等。 　　好啦好啦！算你厲害，居然給你猜中了，這封信不是真的，而是我們杜撰出來的。不過，信中流露的感情卻是千真萬確的。在一個又一個郵包的來信裡，雖說每位讀者的表達方式不盡相同，但對《微積分之屠龍寶刀》的讚譽，卻是異口同聲，讓我們大大感動。 　　如果你現在正在書店裡翻閱這本書，你大概是： 　　剛修過初等微積分，使用過我們的《微積分之屠龍寶刀》，而且順利拿到高分。那麼你還在猶疑什麼？已經證明有幫助了，不是嗎？ 　　剛修過初等微積分，但沒有讀到我們的前一本書，結果成績很差。顯然，你應該即刻買下這本書，以便亡羊補牢。順便把第一本也一併買下，保證有益無害。並沒有買過我們的第一本書，而你也獲得了高分。恭喜你，你真是不簡單，這證明了你的天資跟努力都具有相當水準。但是你有沒有仔細想一想，你是不是因為運氣好，才拿到高分？奉勸你趕快買下這本書，好大幅提高勝算。 　　的確買了我們的第一本書，學期結束時卻沒能獲得高分。難道是我們忘了告訴你，即使有了那本書，你還是必須上課聽講，考試時也不能缺席？ 　　我們實在不願意想到或看到，你站在書店壅塞的走道上讀這本書，身旁人來人往，而你連個坐下伸個腿的地方都沒有。要是你現在就把書買回家，待會兒你就可以啜著冷飲，舒舒服服的坐下來，仔細閱讀你剛買的新書。這豈不是一大樂事？ 　　在這本書中，我們將不再重複告訴你如何選任課老師、如何有效學習微積分等等（不過，我們希望這兩本書能夠並排擺在你的書架上，隨時供你參考），在你使用這《微積分之倚天寶劍》時，那些忠告一樣用得著。 　　這本書的目的，是在向你講解微積分後半部的一些專題，而不是要取代你現有的教科書。事實上，它也無法取代教科書，原因是份量不夠重。但是，這本書足以讓你明白，微積分這門課究竟在搞些什麼。所以你就放心讀吧，希望你讀得開心！ 　　P.S.：不妨上網瀏覽我們的網站howtoace.com，你會看到許多幫助你拿高分的資訊，包括考古題網頁的連結、數學笑話，以及進一步的講解等等。

第8章 多變數函數，及它們的偏導數 8.5 偏導數 你應該還記得，函數f(x)的導數就代表y = f(x)圖形的切線（如圖8.12所示）。現在我們要把這項觀念，推廣到具有兩個變數的函數f(x, y)。 怎麼辦呢？讓我們假設，你現在正站在聖母峰的山腰上，身上是昂貴得出奇的登山裝跟裝備，有著閃亮耀眼的時髦花樣。當時你在專櫃店試穿這套服裝時，覺得自己酷得不得了，然而現在，你感覺不到酷，而是寒冷徹骨，因為冰冷的寒風從外套的下緣縫中鑽了進來，原來是你忘了把其中一條高科技束帶紮緊。 你被綁在一根繩索的一端，繩索懸掛在你頭頂上方那個卡在岩縫裡的帶環鋼釘上，而繩索的另一端，則掌握在芬蘭籍隊長的手中。他這時正拚命向你打手勢，並且用你壓根兒聽不懂的芬蘭話向你猛喊；似乎從這次探險一開始，你對他的唯一印象，就是見他拚命向你打手勢，並且用你聽不懂的芬蘭話向你猛喊。 這時候風愈刮愈大，氣溫也似乎在疾速下降，你不由得再一次自問，明明可以無憂無慮的躺在游泳池面上，啜飲著熱帶果汁，幹嘛要發神經參加什麼高山探險隊？ 你猜測，也許這位芬蘭隊長看時候不早，應該轉回基地營區，喝杯熱可可加上軟棉糖，以禦寒氣，所以你自以為是的向東跨出一小步。哪裡知道你這一腳踩了個空，因為在你所踏出的方向，根本沒有落腳處：下一個落腳處是在負z方向的200英尺外！ 幸好你頭頂上的鋼釘沒有鬆脫，你才沒摔下去，結果整個人懸在半空中。這時你的芬蘭隊長喊聲更急促響亮，同時死命的拽住繩索，額頭上的青筋都冒了出來。 當然，剛才這幕驚險鏡頭之所以發生，問題出在山峰的東側坡度太陡。你定了定神，然後拿出吃奶的力氣，好不容易才收回了你那隻差一點造成千古恨的腳。 驚魂甫定，仔細向下看清楚之後，你這才發現芬蘭隊長的手勢，原來是在叫你向正北方移動前進，因為那一側的坡度沒那麼大，一步跨出去，只不過向負z軸方向踏出2英尺而已。 這讓你思想起大學時代修過的多變數微積分。你記起了，當你在三維空間曲面上的一點，就跟你現在站在山腰上的情形一樣，你周圍有不只一個斜率。 事實上，不管你面朝任何一個方向，都可能有一個不同的斜率，也就是在該方向上的切線的斜率。 假設這座山的表面，可由函數z = f(x, y)的圖形來表示，其中的正x軸指向正東方，而正y軸指向正北方（如圖8.13）。 剛才的那幕驚魂記，就相當於x方向上的切線斜率很大，而且為負值，約為－200，因為落差有200英尺；至於正y方向（亦即正北方）上的切線斜率，雖然也是負值，但是沒那麼陡，大約為 －2，因為落差僅2英尺。 你仍然記得，你的微積分老師（那個看起來不太愛乾淨的傢伙）曾經告訴過你們，函數f對x的偏微分，就是它在x方向的切線的斜率。 你還記得當時不太瞭解他的意思，於是發問道：「對不起，教授！x方向哪有什麼切線？x方向不是水平的嗎？切線不都是傾斜的嗎？」（多有趣啊，每當你的生命面臨危險時，你常會突然記起一些毫不相干的往事。） 於是，你的教授丟過來一個非常不屑的眼神，然後說：「你聽好，我的意思是你得取一個通過所求的那一點、且跟xz平面平行的平面，然後在該平面上取這個曲面的切線。」接著他就在黑板上畫了一個像圖8.14的圖形。 「我懂了！」你跟著說道：「如此一來，我們就可以用平面上求導數的同樣方法，去計算它的導數了。」於是你也走上講台，在黑板上畫了一個像圖8.15的圖形。 他見你如此舉一反三，立刻衝著你露齒一笑，只是露出的兩顆門牙還真是難看透頂。即使如此，你對他馬上產生了不少好感，心裡還打算也許就此轉系，主修數學。