摺紙幾何學：60種特殊摺紙

摺紙×幾何學 享譽全球的摺紙數學 世界摺紙粉絲引頸期盼的經典作品集中文版！ 　　以『前川定理』、『剛性摺疊』聞名世界的日本摺紙大師前川淳， 　　代表作品『惡魔』號稱眾人爭相模仿的摺紙界最強創作。 　　大師的第一本中文版作品集，摺紙迷怎麼能錯過！ 　　杜勒多面體、神明鳥居、大衛之星…收錄60種特殊摺紙作品， 　　教你折近年摺紙界主流的組合式摺紙！

數學名師專業推薦 　　「數學是一門研究結構、數量、模式與形狀的學問。 　　儘管看似抽象，它已經影響了許多藝術創作。 　　現今數學與藝術正在探索美麗新領域， 　　前川淳先生的「變格摺紙」提供我們在立體幾何的探究中一種靈活的應用。 　　不論是教學或創作，都需要這種「跳脫限制」的實踐，書中每一個主題，都值得嘗試。」──科學文創有限公司創辦人 余筱嵐 　　「我深信一定有那麼一群不喜歡數學、對數學無感的人， 　　在接觸這樣動手做、結合藝術的摺紙活動後，會對數學產生新的看法。 　　摺紙讓我們看見數學不是只有紙筆運算， 　　這就是我們說的因材施教：提供不同的學習方法，讓每一位同學選擇最適合他們的那種。」──臺灣師範大學電機系助理教授 數感實驗室共同創辦人 賴以威

前言 範例（符號說明） 第1章看著展開圖摺 1-1 中央開洞的包裝紙 1-2 立方半八面體 1-3 小十二面半十二面體 1-4 正六邊形斷面立方體 1-5 陽馬 1-6 一半的立方體 1-7 立方體內的雙曲拋物面 1-8 扭棱立方體 1-9 大十二面體外殼 1-10 地球儀 1-11 星形多面體 1-12 波浪 1-13 爬蟲類 1-14 連體紙鶴 新版三合一紙鶴 1-15 沙漏角柱 1-16 正八面體盒 1-17 方圓疊紙 1-18 截角二十面體與平面 1-19 正四面體內接正八面體 1-20 雙層螺旋立方體 1-21 笛卡兒座標 1-22 神明鳥居 1-23 杜勒多面體 1-24 樹 1-25 立方體與內接正四面體 1-26 消波塊 第2章組合式摺紙 2-1 魚之立方體 2-2 鳥之立方體 2-3 亞伯斯盒 2-4 雙子座 2-5 正六邊形截面盒 2-6 領結立方體、八分之四的立方體 2-7 領結單元 2-8 立匣體 2-9 博羅梅安環方盒 2-10 鷺草方盒 2-11 色鉛筆市松立方體 2-12 鳥舟風立方體 2-13 四張一組的正四角柱 2-14 凹十二面體 2-15 正十二面體 2-16 有骨架的正八面體 2-17 星形八面體 2-18 鋸齒分割立方體 2-19 刺棘立方體 第3章小品集 3-1 CD包裝 3-2 伐里農的信封 3-3 正八面體的四分之三 3-4 立方體的最大截面 3-5 雙重螺旋 3-6 大衛之星 3-7 人形 3-8 伏見方盒 3-9 黃金盒、黃金垃圾桶 3-10 方形蛋 3-11 凹箱 3-12 錯覺立方體 3-13 兩面同等的正八面體骨架 3-14 魚之枡 3-15 六角結文 後記 索引

前言 　　「變格摺紙」與「摺出來的幾何學」 　　本格、變格之名，僅僅是為了說明的方便而加上的形容詞而已。 　　（夢野久作，《答甲賀三郎氏》，青空文庫） 　　數年前，我完成了《本格摺紙》與《本格摺紙√2》兩本書。前者介紹的主要是如何用一張正方形紙張，不經裁切，摺出想要的造型（「不切正方一枚摺」）。不過書中也用了部分篇幅，以「這也是摺紙」為題，穿插一些使用特殊形狀的紙張、經過裁剪的紙張，或是由複數張紙所摺出來的作品。而後者的《本格摺紙√2》這本書，則收錄了以A4之類的長方形紙張，或者是非正方形紙張所摺出來的作品。 　　到了本書，我想介紹的卻是跳脫了這些限制後的摺紙會是怎麼樣的一個世界。與代表『本格摺紙』的前兩本書對應，我曾一度想以『變格摺紙』為本書書名。 　　若去翻日文辭典中對「變格」一詞的說明，找到的會是如動詞的「變格活用」之類的例子，其解釋為「跳脫原本的格式、規則」。然而，這畢竟不是常用的詞語。最常看到本格←→變格這種對應關係的地方，便是上文提到的，戰前推理小說家夢野久作與甲賀三郎之論戰。當時，人們正為了論證「本格推理小說」與「變格推理小說」的異同而針鋒相對。 　　摺紙這門技藝中，「不切正方一枚摺」被當作「本格」看待，我本人也很喜歡這種摺紙。不過我不會有「這才是『本格』，其它都是『變格』。除了本格摺紙以外，其它變格摺紙都是邪魔外道」之類的想法。我倒覺得跳脫出這些限制後，更能體會到摺紙的本質。 　　這裡所說的「跳脫限制」，並不是要人盡情裁剪出各種花樣，再任意捏成自己想要的造型。紙是一種難以伸縮的平面材質，當紙經過「摺」這種變形後，會呈現出何種外貌，「自然而然」與幾何學有關。而在幾何學為基礎下的摺紙，對紙的形狀限制便成了「雜質」。 　　如上所述，雖然本書的主題是「有點怪的摺紙作品」，但其實我是希望讀者們能在嘗試摺這些作品的時候，享受到「幾何學的樂趣」。 　　本書的結構如下。 　　第1章：以摺紙展開圖的形式列出各作品所使用的紙張形狀，並附上一些雜談。通常這些作品所使用的紙有著特殊的形狀，而非一般的正方形或長方形。而在雜談中，也包含了像是前面所提到的本格變格之爭等，與「摺紙是什麼」相關的討論。 　　看著展開圖摺紙，能享受到拼圖般的樂趣。部分使用正方形或長方形紙的作品可以直接使用色紙或影印紙來摺，說明文中也會提到某些特定的長度比例該怎麼摺出來。 　　第2章：「組合式摺紙」。也就是用複數的小單元組合成一個成品，這個領域的摺紙技術主要用於呈現幾何學中的一些立體圖形。這也是跳脫了「只用單張紙摺」這個規則的摺紙技巧，現在是摺紙界的主流之一。與第1章不同，本章會一一列出摺紙步驟。 　　第3章：在摺本章作品的時候也像在玩幾何拼圖，不過這些作品不是由小單元合體的組合摺紙，而是由一些小東西構成的小品集。本章也會列出每個摺紙步驟，因此摺第2章與第3章的作品時，讀者可以享受到照著流程一步步做完的樂趣，這是看著展開圖摺紙時辦不到的。 　　第2、3章與第1章一樣，都有著相當份量的雜談。如果只是想摺出成品，不去看這些閒話倒也無所謂，不過像這樣邊摺紙邊講些「閒話」，正是本書的一大特徵。這種形式是受限於連載在《數學研討》雜誌上時的刻意為之，不過把這些短篇集合成書時，卻覺得這種形式相當適合我。 　　這裡說的「我」，指的是摺紙專家、喜歡解謎、同時也是數學迷的「我」。衷心期盼這樣的「我」，能把「摺出來的幾何學」的樂趣，透過本書與各位讀者分享。 　　各個摺紙作品依難易度標示為1到4顆星。不過難度這種東西本來就沒有一定標準，做為參考就好。

1-0 關於摺紙展開圖 本章中不會把摺紙過程一步步畫出來，只會有各作品的展開圖，並附上簡單的說明。我們希望您能試著解開這些由幾何圖形構成的摺紙謎題，並從中得到樂趣，故整理了一些適合「看著展開圖摺」的作品放在這裡。本章所收錄的展開圖中，有些沒那麼容易摺出來，但並沒有特別難的作品。請參考以下的說明以及難易度的標示，充分享受摺紙的樂趣。 第1章的作品製作 1 圖的取得 將展開圖的頁面複印下來，或是到以下的網址下載展開圖檔案，再將其列印下來。 日本評論社《折る幾何学》網站www.nippyo.co.jp/folding_geometry/ 2 將圖剪下（以及摺出摺線） 用剪刀沿著圖形輪廓剪下來，有以下兩種方法。 ●直接將1印出來的紙沿著圖形輪廓剪下來。 ●把1印出來的紙與欲用來摺出成品的紙重疊，以釘書機固定，再沿著圖形輪廓將兩張紙一起剪下來。剪之前，可以用斷水的原子筆之類的工具，在摺線（山線、谷線等）上劃過，摺起來會比較順。這種方法的好處在於成品不會留下印刷的摺線。 另外，如果展開圖的輪廓本身就是正方形或長方形，亦可另外拿一張正方形或長方形的紙張，照著展開圖摺出摺線。 3 摺出摺線與組裝完成 依展開圖的摺線摺出摺線，並參考說明圖，組裝出成品。圖中的虛線代表要摺出谷線（凹進去的摺線），而點線相間的鎖線則代表要摺出山線（凸出來的摺線）。 摺摺線的時候，先不要管摺線是山線還是谷線，只要有摺出摺線就好。要在山線與谷線之間變換並不困難，可以晚點再說。 另外，照著摺線摺出成品時，從中間開始摺或從周圍開始摺並不會有太大差別。 3個參考作品 下圖與次頁圖中列出的是相對簡單的摺紙作品，在此作為「看著展開圖摺」的範例。 這些作品與「1-18 截角二十面體與平面」是姊妹作品。 這些展開圖的中央有一個洞，別忘了把洞剪出來。另外，這些作品較適合用有點厚度的紙來摺。 1-0a 立方體與平面 山線 谷線 1-0b 正八面體與平面 1-0c 正十二面體與平面 1-1 中央開洞的包裝紙 形形色色的摺紙 這個作品叫做「中央開洞的包裝紙」。與前頁說明如何「看著展開圖摺」所用的範例類似，這裡的展開圖也長得奇形怪狀，或許會讓不少人想「這也稱得上摺紙嗎？」。提到摺紙，一般人想到的通常是「用一張正方形紙張摺出作品」。雖然不符合這個條件的作品並不少見，像是由複數紙張摺疊、組裝出來的「組合式摺紙」（單元摺紙）等，然而在摺紙同好之間，仍會將「用一張正方形紙張摺出作品」，稱作「不切正方一枚摺」這種看起來像是劍豪小說中才會出現的絕招名字，並把這種摺法當作摺紙的王道。 我自己就是一位摺紙創作者，也曾創造出許多這樣的作品。「不切正方一枚摺」相當適合作為解謎的限制，而這也成為了設計各種摺紙技巧時需考慮的條件。「正因為有某些限制，才讓藝術作品有豐富的變化」這樣的概念在創作領域很常見。英國的作家、評論家，卻斯特頓（G. K. Chesterton）曾這麼說過： 「藝術是有了限制後才出現的結果，藝術拿掉限制之後就什麼都沒了。（中略）所有畫作最漂亮的地方就是它的畫框。」（「玩具劇場」，別宫貞德譯，《巨大與極小》((春秋社))出版） 相當諷刺的一句話對吧。既然如此，像本頁這種用特殊形狀的紙才能摺出來的作品，是否就屬於邪魔外道了呢？我倒認為不一定是這樣。 對我而言，摺紙有趣的地方來自於能親眼看著一張紙的外觀逐漸改變，特別是發生那些令人料想不到的變化的時候。而且，這些改變的背後都有幾何學的理論支撐。在本頁的例子中，「中間有洞的包裝紙可以摺成一個閉合的盒子」就是一個令人料想不到的變化。讓這個變化得以實現的關鍵，就在於這個作品的特殊結構。 兩面同等摺法 那麼，這個作品的結構又有什麼特殊的呢？那就是由開啟摺紙數學界先河的川崎敏和所倡導的「兩面同等摺法」。「兩面同等」正如其名，在這種摺法下，紙的正反兩面會被視為等價。換個方式說，如果用正反兩面不同色的包裝紙來摺這個作品，會發現包裝完後，成品表面兩色各佔一半。一般用包裝紙包裝時，包裝紙的內側不會出現在成品的表面，但這個作品卻顛覆了這樣的概念。 若想嚴謹地說明這個作品的特徵，則如下所述。 「展開圖符合以下對稱性：展開圖中任一點，以及將這個點沿著轉軸旋轉90°後所得到的新點，在摺紙過程中會接受方向相反的操作。」（若以「點群」的用語表示，這叫做擁有「4次旋轉反對稱性」） 擁有這種對稱性的摺紙作品，展開圖的中心便是成品的立體中心。事實上，在這個作品中，即使不把展開圖中央的洞挖掉，仍能得到同樣的正八面體成品。再說，展開圖整體與正方形大致類似，因此只要稍作調整，便能達成「不切正方一枚摺」的條件（與此相關的作品還包括「3-13 兩面同等的正八面體骨架」，可互相對照兩個作品的介紹）。不過，由於展開圖的中央即為成品的立體中心，若保留中央的正方形，這個正方形便會留在正八面體成品的中心。換句話說，為了讓成品「成為可以包裝東西的外殼」，展開圖中央的正方形需事先挖掉，有種由結果反推原因的感覺。不過，挖掉中央正方形的洞，除了可以保持成品的中空、展現成品的特色之外，其實還有其他理由，將於下一段詳述。 剛體摺紙 三角形的三邊長度確定後，便能決定這個三角形的樣子，但是四邊形就不是這麼回事了。即使四邊形四個邊的長度與相交關係都確定，仍無法固定成一個平面形狀。四邊形的這個特性也與這個展開圖中央的洞有關。若嘗試在沒有挖掉中央洞的情況下摺本作品的話會發現，即使我們在摺的過程中盡可能保持紙張的平整，且八面體成品的八個面都很完美，中間那個正方形卻無論如何還是會歪歪斜斜的。因此本作品需預先將展開圖中央的正方形挖掉，才能得到任一面皆平整的成品。像這種每個面皆無扭曲變形，且相鄰兩面可以像門板的合頁般開合的摺紙作品，在摺紙的數學研究中稱作「剛體摺紙」，是一項很重要的研究主題。 （另外，「中央開洞的包裝紙」的立方體版，可參考「1-7 立方體內的雙曲拋物面」。） 1 洞 2 若仔細摺好摺線，便能像左圖般使各瓣邊緣的小側翼「一上一下」彼此咬合，使其形狀固定，最終可成為一個正八面體。如果使用有點厚度的紙張，並摺得俐落些，也可以用來包裝禮物，相當實用。