機率思考：大數據時代，不犯錯的決斷武器

　　最受歡迎與肯定的得獎科學作家，寫給現代讀者的： 　　◎大數據時代必備的解讀力 　　◎後真相世界亟需的思辦術 　　千金難買早知道的恐怖黑天鵝，誰都會遇到──勝出的能力哪裡來？ 　　左右為難的To Be Or Not to Be，你我都會有──決斷的勇氣何處尋？ 　　唯有機率思考，是你不犯錯的武器！ 　　從買樂透到買保險、從看新聞到看醫生 　　食衣住行、生老病死，風險無所不在！ 　　從當法官到拍電影、從防治天災到拯救世界 　　權威研究、街論巷議，藏有多少迷思？ 　　面對不確定性，如何做決策？ 　　當資訊超載，如何找真相？ 　　人生在世，有三件事可以確定：一是繳稅；二是死亡；三是我們永遠擺脫不了不確定性和隱伏其中的風險。如何掌握不確定性，進而擁有預測能力，一直是人類不斷在尋求的解答。幸好，現代人面臨這些難題，占星、卜卦已經不是唯一、更不是最好的選擇。因為，對於未知與風險，我們如今已擁有理解、掌握、最終勝出的工具：機率學。 　　本書取材自生活的日常，以生動活潑的筆觸，解釋機率觀念，揭開其千變萬化的樣貌，幫助讀者理解機率事件，以及它幾乎無所不包、令人大開眼界的精采應用，例如： 　　◎一場美式足球賽，上場的22名球員，生日相差一日之內的機率有多少？（正確答案絕對高到超乎你的想像！） 　　◎買樂透，為什麼用電腦選號比人腦選號好？ 　　◎你花小錢買心安的延長保固，為什麼是廠商豐厚的獲利保證？ 　　◎準確率80%以上的癌症檢測驗出陽性，為什麼還可以抱持83%的機率沒有罹癌？ 　　◎東京子彈列車營運超過50年、搭載100億人次，穿梭地表地震最頻繁的地區，卻不曾有任何一名乘客因地震喪生，憑什麼？ 　　◎金融海嘯真是「25個標準差」的罕見事件，人力無可回天？ 　　◎二次世界大戰時，圖靈破解號稱不可能解開的Enigma，關鍵居然是某個「冷僻歪理」？ 　　◎數字確實會說話，但你怎麼知道它是不是在胡說八道？ 　　◎資料探勘正流行，但你確定挖到的是金礦？還是垃圾？ 　　從大數據時代到後真相世界，矛盾詭譎層出不窮，決策的風險日益高漲。不管是個人或群體，唯有對機率、風險和不確定性有更深入而正確的理解，才能培養足夠的思辨能力，擺脫理盲的困境。本書闡述機率學，緊扣理論的新脈動，觀念及應用均與時俱進，正是現代知識公民所需的必備素養。

導 論 敢與上帝擲骰子的魄力 第1章 納粹集中營裡的擲銅板實驗 第2章 藏在常識裡的陷阱 第3章 黃金定理的暗黑秘密 第4章 恐怖新聞？是你頭腦不夠清楚！ 第5章 是美麗巧合，還是自欺欺人？ 第6章 六顆雙黃蛋的啟示 第7章 樂透彩陰謀論 第8章 電玩會殺人？牛仔褲也是！ 第9章 日光之下並無奇事 第10章 沒有頭緒時，「隨機」應變為上 第11章 真實世界不是一座標準實驗室 第12章 群眾智慧，給問嗎？ 第13章 破解莊家優勢 第14章 聰明反被聰明誤 第15章 賭博的黃金法則 第16章 買保險？還是碰運氣？ 第17章 人生如賭場，要下好注 第18章 醫生，老實說，我有多少機會？ 第19章 這不是演習！這不是演習！這不是演習！ 第20章 貝牧師的神奇公式 第21章 當圖靈博士遇到貝牧師 第22章 大人，冤枉啊！ 第23章 化腐朽為神奇的統計秘密 第24章 別讓數字唬了你 第25章 證據終究會說話 第26章 抱歉，教授，我實在不相信 第27章 神奇的萬有曲線 第28章 常態分配不常有 第29章 醜陋姊妹花與邪惡雙胞胎 第30章 走極端，以測安全 第31章 尼可拉斯・凱吉新片上映期間，泳池勿近 第32章 如果這樣，會怎樣？ 第33章 金融市場裡的物理學家 第34章 因為不能簡單，只好順應複雜

導論 敢與上帝擲骰子的魄力 　　2004年4月一個週日下午，一名32歲的英國人，帶著他的所有家當，走進拉斯維加斯的廣場賭場飯店（Plaza Hotel & Casino）。所謂的「所有家當」，就是一套換洗衣物，加上一張支票。艾胥里・瑞威爾（Ashley Revell）變賣所有，換得一張135,300美元的支票；就連身上穿的無尾禮服，都是租來的。瑞威爾把支票換成一疊少得可憐的籌碼，走向輪盤賭桌，做了一件驚動四座的事：他把賭注全押在同一格，他賭小白球停下來時，會停在紅色格內。 　　瑞威爾選擇紅色可能是一時興之所至，但孤注一擲卻不是，而是已經籌畫了好幾個月。他跟朋友討論過這件事，朋友們認為這個點子很棒，不過家人可不這麼想。有些賭場也不歡迎，可能很怕自己淪為賭城傳說的主角：那間就是有人賭上全部家當、結果傾家蕩產的賭場。瑞威爾把籌碼放上賭桌，賭場飯店經理神色嚴肅，問他是否確定自己要這樣做，不過似乎沒有什麼能夠阻擋瑞威爾的決心。在一大群觀眾圍觀下，他緊張地等待荷官把球放進輪盤，一個快手把所有籌碼全都押在紅色。他看著球慢下來，以螺旋滾進輪盤，在各格子間跳進跳出，最後停了下來——落在7號紅色格內。 　　那一瞬間，瑞威爾的身價倍增為270,600美元。觀眾大聲歡呼，朋友給他擁抱，他老爸則是心有餘悸，直說他是個「頑皮小子」。對於瑞威爾當天的行徑，大多數人可能都會嚴詞批判，說他不明智算是客氣，說他魯莽也不為過，甚至可能說是瘋狂。即使不把135,300美元放在眼裡的億萬富翁，也一定不會這樣下注。任何有點理智的人，都會把賭注分成較小的幾把，最起碼先試試手氣，看看幸運女神今天到底有沒有在家，不是嗎？ 　　不過，事實是：瑞威爾此舉完全是正確的決定。根據或然率定律，想在賭場把身價翻倍，沒有比在輪盤孤注一擲勝率更高的方法。沒錯，這個遊戲並不公平，輪盤的勝率刻意設計成不利於賭客，而且完全合法。沒錯，你有大於50％的機會輸掉賭注。然而，儘管看似詭異，這時的最佳策略，就是大膽地放手一搏；只要稍微膽怯，就會減低成功的機會。瑞威爾在下這把大注之前，自己親身驗證過這點：他前幾天在賭場裡下注幾千美元，卻落得虧損1,000美元。他想要把錢翻倍的最佳希望，就是摒棄分散下注的「常識」，投靠或然率定律。 　　人性對風險缺乏免疫力 　　那麼，我們應該遵照瑞威爾的腳步，把家當全部賣掉，前往最近的賭場，放手一搏嗎？當然不是。想要財富翻倍，有很多更好的方法，只是比較無趣而已。不過有一件事倒是可以確定：這些方法全都涉及或然率的某個形式，像是機率、不確定性、風險或是可信度。 　　我們都知道，除了死亡跟繳稅，人生沒幾件事情可以確定，但是很少人能對機率淡然處之。機率威脅我們對於事件的掌握感；機率暗示誰都可能變成莎士比亞筆下「受命運擺布的傻瓜」。機率讓許多人信仰反覆無常的眾神，有些人則否認機率的主宰力量：愛因斯坦就是其中出名的一個——他拒絕相信上帝會在管理宇宙時丟骰子。然而，「理解機率」就是個自相矛盾的詞：按照定義，隨機不就是超乎理解的意思嗎？這個邏輯正好說明人類智識史上最大謎團形成的原因：可靠的或然率理論顯然很實用，卻為什麼經過那麼長的時間才出現？5,500年前的古埃及，就有人在玩機率遊戲，卻一直到了17世紀，才有大膽的思想家，認真挑戰亞里斯多德的觀點，即「機率超越人類知識的理解範圍」。 　　機率違反直覺的情況實在太過頻繁，難以有助於於理論的形成。就以巧合來說，一場美式足球比賽裡，兩名球員的生日相差一日之內，機率大約多少？一年有365天，場上有22名球員，所以你可能會覺得機率低於10分之1。然而，根據或然率定律，真正的答案其實是約90％。不相信嗎？挑幾場美式足球比賽，查查球員的生日，你就知道了。即使如此，你也難免覺得事有蹊蹺，畢竟即使身處在人數差不多的群體裡，也很難真的找到有人跟你同一天生日。就連擲銅板和擲骰子這種簡單的問題，似乎也違反常識。抛擲一枚公平的銅板，連續出現幾次正面之後，接下來一定較可能擲出反面嗎？如果你很難理解為什麼答案是否定的，別擔心，有位啟蒙時代的偉大數學家，也從來就沒搞懂這點。 　　本書的目的之一，就是透過揭示機率定理及其應用，使讀者理解日常生活中的機率事件。你會讀到如何運用這些定理預測巧合，幫助你在商場上與生活中做出更佳決策，並更能明智解讀從醫療診斷到投資建議等種種事務。 　　不懂機率，就等著當理盲的傻瓜 　　不過，本書不只是提供絕妙竅門和實用線索。我寫作本書也為了點出，除了理解機率事件，或然率定律究竟有何能耐。對於需根據證據申述見解的人，或然率定律也是上好的利器。舉凡確認健康風險、找出可以對治的新藥，到增進我們對宇宙的認識，或然率定律在去蕪存菁的過程中，都能扮演關鍵角色。 　　有一場以或然率定律為焦點的革命，如今正方興未艾。我們清楚看到，對於知識的追尋，這些定律遠比原先設想的有力。然而，要運用這股力量，需要重新解讀或然率，也因此直到最近都還引發激烈論戰。這場持續數十年的爭議，在科學、科技與醫學因為所謂的「貝氏方法」（Bayesian methods）而改頭換面下，如今已逐漸消弭；然而，截至目前為止，這一切卻鮮為大眾所知。本書將會訴說這段經常令人驚異不已的精采故事，談及這些技巧何以出現、它們所引起的爭議，以及一般人如何借助這些觀念，洞悉如氣象預報、科學新主張的可信度等各種事物之究竟。 　　然而，運用或然率定律的同時，也必須知道其限制為何，以及何時有濫用之虞。研究人員賴以解讀資料而行之有年的標準方法，應用時經常超出使用限制甚多，這已是清楚的事實。這麼做可能導致災難性的後果，學術圈內對此流傳的警告，也數十年未歇。然而，這項逐漸浮現的弊端，同樣鮮為普普大眾所知。我也希望藉本書提供彌補之道。為此，本書取材自我的學術著作，也蒐羅了一些方法，以偵察研究文獻中因證據及方法遭濫用時產生的問題。 　　對於機率、風險和不確定性的理解，需求從未像現在這般迫切。面對政治動盪、金融脫序，以及接踵而至的各種風險、威脅跟災禍，我們都渴求確定性。確定性從來不曾存在，儘管這是事實，但我們不應因此接受宿命論，或拒絕接受現實。 　　本書的中心思想是，雖然我們永遠無法擺脫機率、風險跟不確定性，但我們如今擁有掌握它們、最終勝出的工具。

◎害死人的疫苗？ 2008年，英國政府決定，13歲以下的女孩要接種人類乳突病毒（HPV）疫苗，以防治子宮頸癌。這項全國計畫受到民眾讚賞，認為每年可拯救數百位女性的生命。然而，計畫推行後不久，媒體似乎有極具說服力的證據，證明這種看法太過樂觀。媒體報導，14歲女孩娜塔莉．摩頓（Natalie Morton）在接種疫苗後數小時死亡。衛生當局的反應是檢查疫苗庫存，回收可能有問題的疫苗。然而，有人覺得這樣做還不夠，要求中止大規模的接種疫苗計畫。 這個要求合理嗎？ 有些人會堅持引用所謂的「預防性原則」，簡單說就是「小心駛得萬年船」。然而，這裡的風險在於，解決了一個問題，卻製造出另一個問題：計畫喊停雖然能消除接種者死亡的全部風險，子宮頸癌的問題卻仍然沒有解決。此外還有一種風險，是一個值得認識的陷阱。邏輯學家把這個陷阱稱為「後此謬誤」（Post hoc,ergo propter hoc），即「因為發生在後，就以為有因果關係」。以娜塔莉的死亡為例，陷阱就在於有人可能會因為她在接種疫苗後死亡，就認為接種疫苗必然是死因。事情必然是先有因，後有果；然而把這個邏輯反轉過來，卻有其危險：車禍事件的受害者，出發前通通有繫安全帶，但這可不表示繫安全帶會導致車禍。 不過，我們姑且設想最糟的狀況：娜塔莉的死亡，真的是對疫苗的不良反應所造成。根據無法無天第一定律，理解這類事件的最佳方式是著眼於相關比例，而不是個別案例。這個事件的相關比例是多少？娜塔莉死亡時，已有130萬名女孩接種了同樣的疫苗，這表示死亡事件的相對頻率，大約是100萬分之1。這個比例說服了英國政府，儘管面對反接種人士的抗議，還是在把可能有問題的疫苗回收後，繼續推動這項計畫。若娜塔莉果真是對疫苗產生罕見反應而喪命，政府採取的回應行動也屬合理。 娜塔莉的驗屍結果顯示，她的胸部有惡性腫瘤，死亡與接種疫苗無關。因此，娜塔莉的死亡不是罕見的疫苗反應，是媒體落入了後此謬誤的陷阱。即使如此，當局回收可能有問題的疫苗，而不是撤銷整個計畫，是正確的做法。當然，這不一定就是真相。娜塔莉可能是原發病例，是疫苗測試時未曾出現過的反應。深入研究這個案例的成因，尋找是否可能會出現更多案例的證據，顯然是正確的做法。 我們不應過度受個別案例影響，而是應該注意相對頻率，並在正確的脈絡下看待這類案例。只因為發生少數一次性事件，就決心做些「改善」的經理人、行政主管與政治人物，可以從這個案例學到更多課題。他們若忽略了這點，等於甘冒因極罕見事件而採取行動的風險。更糟的是，他們可能會根據罕見案例的「改進」，對同樣很少的資料組進行測試，又把注意力放在原始次數而非相對頻率，從而得出錯得離譜的結論。從頻繁發生的客訴到員工建議全盤改變工作方法，全都可能起因於少數不見得重要的傳聞。 ◎受到神秘詛咒的公司？ 1980年代，位於英國的國防包商馬可尼通用電氣（GEC-Marconi），因為一連二十多起技術人員自殺、死亡與失蹤案件，成為媒體報導焦點。開始有人提出陰謀論，而有些受害人參與機密計畫的事實，更使得這種論調甚囂塵上。雖然這些傳聞很引人入勝，不過我們應該無視於小道消息，把注意力放在相對頻率上。在這個案例中，就是比較馬可尼發生特殊事件，以及預期一般大眾發生特殊事件的相對頻率。 一經比較就會發現，馬可尼是一家員工超過三萬人的大型公司，而那些死亡案例是在八年內陸續發生的；這表示以馬可尼的規模，那些「神秘」的死亡和失蹤案，也許並不值得大驚小怪。最起碼警方的後續調查結論就如此，不過陰謀論一直到今日還未平息。 平心而論，媒體近來已經開始注意比較相對頻率的重要性。2010年，法國電信公司（France Telecom）登上頭版，因為它在2008年到2009年間，發生了30起自殺案件，次數媲美馬可尼。2014年，這家當時已改名為橘子電信（Orange Telecom）的公司，短短數個月內又出現10起自殺案，舊帳也因此再被翻出來。這一回的解釋是工作壓力，不過與報導馬可尼案件時截然不同的是，有些記者提到了第一定律的關鍵問題：以一家員工約100,000人的大型公司，這些自殺案件的發生頻率（而不是發生次數），是否真有異常？